En este apartado los alumnos aportarán en los temas señalados a continuación, enlazando una imagen, un video y un link:

1. Definición de los números Naturales.

El conjunto de los números naturales se representa por
scriptstyle mathbb{N}
scriptstyle mathbb{N}
y corresponde al siguiente conjunto numérico:
   mathbb{N} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dots}
mathbb{N} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, dots}

Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adición y la multiplicación, ya que al operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un número perteneciente a
scriptstyle mathbb{N}
scriptstyle mathbb{N}
.

1.1. Propiedades

Los números naturales están totalmente ordenados. La relación de orden
leq
leq
se puede redefinir así:
aleq b
aleq b
si y sólo si existe otro número natural c que cumple a + c = b. Este orden es compatible con todas las operaciones aritméticas puesto que si a, b y c son números naturales y
aleq b
aleq b
, entonces se cumple:
a+cleq b+c
a+cleq b+c
atimes cleq btimes c
atimes cleq btimes c

Otra forma de definir dicha relación es utilizando la construcción de
 mathbb{N}
mathbb{N}
por cardinales se tiene que
aleq b
aleq b
si dados dos representantes A y B de a y b respectivamente existe una aplicación
f colon A to B ,
f colon A to B ,
inyectiva.Se demuestra fácilmente que esta relación es de orden y no depende de los representantes A y B elegidos.
Una propiedad importante del conjunto de los números naturales es que es un conjunto bien ordenado: cualquier subconjunto de los números naturales tiene un elemento mínimo. De hecho, cualquier conjunto A es isomorfo al de los números naturales si no está vacío, está totalmente ordenado por
leq
leq
y cumple:
  1. Para cualquier elemento a de A existe b en A tal que a < b
  2. Cualquier subconjunto no vacío de A tiene un elemento mínimo
En los números naturales existe el algoritmo de la división. Dados dos números naturales a y b, si b≠ 0 , podemos encontrar otros dos números naturales q y r, denominados cociente y resto respectivamente, tales que
a = (btimes q) + r
a = (btimes q) + r
y r < b.
Los números q y r están unívocamente determinados por a y b.
Otras propiedades más complejas de los números naturales, como la distribución de los números primos por ejemplo, son estudiadas por la teoría de números.

1.2. El orden


Orden en los números naturales
Un número natural es más grande que otro si usa más
posiciones, es decir si tiene grupos más grandes.


numeros~reales.jpg

2. Definición de los números Enteros. (Equipo 2)


Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z:


Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}


Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).











2.1. Propiedades


1. Interna:
a + b E Z
3 + (−5) E Z
2. Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c) ·
(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]
5 − 5 = 2 + (− 2)
0 = 0
3. Conmutativa:
a + b = b + a
2 + (− 5) = (− 5) + 2
− 3 = − 3
4. Elemento neutro:
a + 0 = a
(−5) + 0 = − 5
5. Elemento opuesto
a + (-a) = 0
5 + (−5) = 0
−(−5) = 5

2.2. El orden


La ordenación de los números enteros

En Z se puede definir una relación de orden total, con el orden usual <. Así, para cualesquiera dos elementos distintos de Z, a<b o bien b<a. Es decir, Z es un conjunto totalmente ordenado.
Esta relación de orden total es compatible con la suma y el producto:
  • a < b ⇒ a+c < b+c, para todo entero c.
  • a < b ⇒ a.c < b.c, para todo entero c mayor que 0.




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Ejercicio:

1. Ordena los siguientes números enteros: -3, -16, 2, -7, 9, 0.


RESPUESTA


3. Definición de los números Racionales.

3.1. Propiedades

3.2. El orden

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS RACIONALES, CON LAS OPERACIONES SUMA Y MULTIPLICACIÓN

El conjunto de los números racionales, con las operaciones suma y multiplicación, es un campo, es decir, si a , b y c son números racionales, entonces se satisfacen las siguientes propiedades:


a + b ε Q
Clausura
a b ε Q
a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
Asociatividad
a ( b c ) = ( a b ) c
a + 0 = 0 + a = a
Existencia del elemento neutro
a × 1 = 1 × a = a
a + ( – a ) = – a + a = 0
Existencia del elemento inverso
a × a – 1 = a – 1 × a = 1
( a ¹ 0 )
a + b = b + a
Conmutatividad
a b = b a

Distributividad
a ( b + c ) = a b + a c
( b + c ) a = b a + c a

http://eneayudas.cl/index.php?option=com_content&task=view&id=100&Itemid=129
Propiedades del Orden
Propiedad 1
Todo racional positivo es mayor que cero.
Propiedad 2
Todo racional negativo es menor que cero.
Propiedad 3
Si a es un racional positivo, entonces -a es negativo.
Propiedad 4
Si a es un racional negativo, entonces -a es positivo.
Propiedad 5
Toda desigualdad puede escribirse de dos maneras equivalentes:
a
http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/imagenes/orden_MenorIg.gif
http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/imagenes/orden_MenorIg.gif
b b
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a .

Propiedad 6
Propiedad refleja del orden:
Para todo nmero racional a, se cumple que a
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a.

Propiedad 7
Propiedad transitiva del orden:
Si los nmeros racionales a, b y c son tales que a
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b y b
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c , entonces a
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c .

Propiedad 8
Todo racional positivo es mayor que todo racional negativo.
Propiedad 9
Propiedad antisimtrica del orden
Si a
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b y b
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a , entonces a = b.

Cmo comparar dos racionales?
Dados dos racionales a y b queremos saber si a = b a < b a > b. Para ello se pueden usar algunas de las siguientes alternativas:
  1. [Alternativa 1] Si dos racionales tienen signos contrario, entonces el positivo es mayor que el negativo.
Ejemplo:
http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/imagenes/orden_Ord32.gif
http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/imagenes/orden_Ord32.gif

http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/imagenes/orden_Ord33.gif
http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/imagenes/orden_Ord33.gif

  1. [Alternativa 2] Si dos nmeros racionales tienen el mismo signo, para compararlos se deben reducir a un mismo denominador.
Ejemplo: Queremos comparar
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http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/imagenes/orden_Ord34.gif
y
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http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/imagenes/orden_Ord18.gif
.

Reduciendo ambas fracciones a un mismo denominador, tenemos:
http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/imagenes/orden_Ord35.gif
http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/imagenes/orden_Ord35.gif

http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/imagenes/orden_Ord36.gif
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Ahora podemos calcular la diferencia entre ellos:
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http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/imagenes/orden_Ord37.gif


Como 3 es un nmero entero positivo, podemos concluir que
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http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/imagenes/orden_Ord34.gif
es mayor que
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http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/imagenes/orden_Ord18.gif
.

  1. [Alternativa 3] Si dos racionales son representados por dos fracciones que tienen el mismo denominador, para compararlos basta examinar los numeradores. En este caso, el racional mayor es el que tiene numerador mayor.
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http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/imagenes/orden_Ord38.gif
es equivalente a p > r.

  1. [Alternativa 4] Si dos racionales positivos son representados por dos fracciones que tienen el mismo numerador el racional mayor es el que tiene denominador menor.
http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/imagenes/orden_Ord40.gif
http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/imagenes/orden_Ord40.gif
es equivalente a q < s.


Link=http://www.comenius.usach.cl/webmat2/conceptos/desarrolloconcepto/orden_desarrollo.htm

4. Definición de los números Irracionales.



A los números cuya expresión decimal tiene infinitas cifras no periódicas se les
llama números irracionales. A su conjunto lo representaremos con la letra a .
3.1415926535897932384626433832795 (y más...)
external image moz-screenshot.pngexternal image moz-screenshot-1.pngUn número irracional es un número con infinitos decimales que en ningún caso se repiten de forma periódica. El número 1'33333... con infinitos decimales iguales a 3 tampoco es un número irracional ya que realmente es el resultado de dividir 4 entre 3 y los decimales se repiten periódicamente.

Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor Pi.
Números como 22/7 = 3.1428571428571... se acercan pero no son correctos.


Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción),
¡no porque esté loco!


Números
En fracción
¿Racional o
irracional?
5
5/1
Racional
1.75
7/4
Racional
.001
1/1000
Racional
√2

(raíz cuadrada de 2)
?
¡Irracional!



Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:
3.1415926535897932384626433832795 (y sigue...)

El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:
2.7182818284590452353602874713527 (y sigue...)



Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:
√3
1.7320508075688772935274463415059 (etc)
√99
9.9498743710661995473447982100121 (etc)

Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.




Historia de los números irracionales
Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irracionales intentando escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en su lugar demostró que no se puede escribir como fracción, así que es irracional. Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los números tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no existían, ¡tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó!

4.1 Propiedades


1. Si a es racional y b es irracional entonces la suma ba+a siempre es irracional.

2. Si a es racional y b es irracional entonces el producto siempre es irracional.



5. Definición de los números Reales.

son aquellos que poseen una expresión decimal e incluyen a los números racionales (números irracionales



5.1. Propiedades

5.2. El orden

orden de los numeros



MULTIPLICACIÓN
Para la multiplicación de dos ó más expresiones algebraicas deben seguirse los siguientes pasos:
  1. Producto de los signos.
  2. Producto de los coeficientes.
  3. Producto de las variables aplicando la ley de los exponentes Xa.Xb=Xa+b. Las letras minusculas son los exponentes
  4. Reducir términos semejantes.
Ejemplos:
  • 3*(2X3-3X2+4X-2) = 6X3-9X2+12X-6 nota: No hay términos semejantes para reducir, solo se acomodan de mayor a menor exponente.
  • (2X2-3)* (2X3-3X2+4X) = 2*2X2+3 – 2*3X2+2 + 2*4X2+1 – 3*2X3 – 3*3X2 + 3*4X
= 4X5 – 6X4 + 8X3 -- 6X3 + 9X2 -- 12X = 4X5 – 6X4 + 2X3 + 9X2 -- 12X

DIVISIÓN:
La división de polinomios tiene las mismas partes que la división aritmética, así hay dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) de modo que el grado de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y el grado de Q(x) sea mayor o igual a cero, siempre hallaremos dos polinomios C(x) (cociente) y R(x) (resto) que podemos representar:
 P(x) ,
P(x) ,


 Q(x) ,
Q(x) ,

 R(x) ,
R(x) ,


 C(x) ,
C(x) ,

tal que:
 P(x) = Q(x) cdot C(x)+ R(x) ,
P(x) = Q(x) cdot C(x)+ R(x) ,
dividendo = divisor × cociente + resto
El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x), mientras que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q(x).
Para reañizar una división se denben considerar los siguientes pasos:
1.- Cocientes de los signos.
2.- Producto de los coeficientes.
3.- Producto de las variables aplicando la ley de los exponentes x elevado a la "a" entre x elevado a la "b" es igual a x elevado a la "a-b".
4.- Reducir terminos semejantes.
Ejemplos:
a)
 P(x) = 3 , x^{4} - 2 , x^{3} + 4 , x^{2} + 2 , x - 3;
P(x) = 3 , x^{4} - 2 , x^{3} + 4 , x^{2} + 2 , x - 3;
 Q(x)  = x^{2} - 2 , x - 1 ;
Q(x) = x^{2} - 2 , x - 1 ;

que para la realización de la división representamos:
   begin{array}{rl}begin{array}{rrrrr}3x^4 & -2x^3 &  +4x^2 &  +2x &  -3 \end{array}&begin{array}{|rrr}x^2 & -2x &  -1 \hlineend{array}end{array}
begin{array}{rl}begin{array}{rrrrr}3x^4 & -2x^3 & +4x^2 & +2x & -3 \end{array}&begin{array}{|rrr}x^2 & -2x & -1 \hlineend{array}end{array}


como resultado de la división finalizada:
   begin{array}{rl}begin{array}{rrrrr}3x^4 & -2x^3 &  +4x^2 &  +2x &  -3 \-3x^4 & +6x^3 &  +3x^2 &      &     \hline0 &  4x^3 &  +7x^2 &  +2x &  -3 \& -4x^3 &  +8x^2 &  +4x &     \hline&     0 &  15x^2 &  +6x &  -3 \&       & -15x^2 & +30x & +15 \hline&       &        & +36x & +12end{array}&begin{array}{|rrr}x^2 & -2x &  -1 \hline3x^2 & +4x & +15 \, \, \, \, \,end{array}end{array}
begin{array}{rl}begin{array}{rrrrr}3x^4 & -2x^3 & +4x^2 & +2x & -3 \-3x^4 & +6x^3 & +3x^2 & & \hline0 & 4x^3 & +7x^2 & +2x & -3 \& -4x^3 & +8x^2 & +4x & \hline& 0 & 15x^2 & +6x & -3 \& & -15x^2 & +30x & +15 \hline& & & +36x & +12end{array}&begin{array}{|rrr}x^2 & -2x & -1 \hline3x^2 & +4x & +15 \, \, \, \, \,end{array}end{array}

b)

Polinomios
Polinomios

Como se ve se ha obtenido de cociente 4x + 1 y de resto - 3x + 2.

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